При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a корни урав­не­ния со­став­ля­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию.

Ре­ши­те урав­не­ние: Здесь квад­рат­ные скоб­ки [x] озна­ча­ют целую часть числа x, т. е. наи­боль­шее целое, не пре­вос­хо­дя­щее x.

Пя­те­ро пре­по­да­ва­те­лей про­ве­ря­ют олим­пи­ад­ные ра­бо­ты. Пер­вый, чет­вер­тый и пятый пре­по­да­ва­те­ли, ра­бо­тая вме­сте, могут про­ве­рить все ра­бо­ты за 20 часов. Вто­рой, тре­тий и пятый  — за 15 часов. Если эти ра­бо­ты про­ве­ря­ют все пре­по­да­ва­те­ли, кроме пя­то­го, то все ра­бо­ты будут про­ве­ре­ны на 10 часов. Во сколь­ко раз быст­рее будут про­ве­ре­ны все ра­бо­ты, если в про­вер­ке участ­ву­ют все пять пре­по­да­ва­те­лей по срав­не­нию с тем, когда про­ве­ря­ет все ра­бо­ты толь­ко пятый пре­по­да­ва­тель.

При каких целых k, m, n имеет место ра­вен­ство Вы­пол­нить пол­ное ис­сле­до­ва­ние за­да­чи и при­ве­сти не­сколь­ко при­ме­ров.

До­ка­зать не­ра­вен­ство

Куб раз­ме­ром n × n × n, где n  — на­ту­раль­ное число, раз­ре­за­ли на 99 ку­би­ков, из ко­то­рых ровно у од­но­го ребро имеет длину от­лич­ную от еди­ни­цы (у каж­до­го из осталь­ных ребро равно 1). Найти объем ис­ход­но­го куба.

Сколь­ко ре­ше­ний в на­ту­раль­ных чис­лах (m, n) имеет урав­не­ние

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны длины всех его сто­рон: На про­дол­же­нии сто­ро­ны AB от­ло­жен от­ре­зок и про­ве­де­на бис­сек­три­са угла тре­уголь­ни­ка ABC, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ну AC в точке E. Найти пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CDBE.

На не­ко­то­рой пла­не­те при изу­че­нии гео­мет­рии на плос­ко­сти рас­сто­я­ние ρ между двумя точ­ка­ми и в де­кар­то­вой ор­то­го­наль­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат опре­де­ля­ют по фор­му­ле

По­стро­ить в этой гео­мет­рии окруж­ность с цен­тром в точке (−2, −1) и ра­ди­у­сом и найти длину этой окруж­но­сти.

На пла­не­те X21KL9 2021 стра­на, и для любой их чет­вер­ки хотя бы одна стра­на из этой чет­вер­ки враж­ду­ет с тремя дру­ги­ми. Найти наи­мень­шее воз­мож­ной ко­ли­че­ство стран, ко­то­рые враж­ду­ют со всеми стра­на­ми сразу.