РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 5681 Добавить в вариант

Куб размером n × n × n, где n  — натуральное число, разрезали на 99 кубиков, из которых ровно у одного ребро имеет длину отличную от единицы (у каждого из остальных ребро равно 1). Найти объем исходного куба.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим m длину ребра кубика, отличного от единичного. Получаем уравнение $n в кубе минус m в кубе =98$ (в натуральных числах). Далее,

$левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате правая круглая скобка =98.$

Числа m и n одной четности, так как в противном случае $n в кубе минус m в кубе$   — нечетное число. При этом если m и n  — четные числа, то $n в кубе минус m в кубе$ будет делиться на 8, но 98 на 8 не делится. Значит, m и n  — нечетные, при этом первый множитель произведения

$левая круглая скобка n минус m правая круглая скобка левая круглая скобка n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате правая круглая скобка$

есть четное число, второй  — нечетное. Наконец, второй множитель больше первого:

$n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате больше n больше n минус m.$

Из сказанного и разложения $98=2 умножить на 7 умножить на 7$ на простые множители получаем систему уравнений $n минус m=2,$ $n в квадрате плюс n m плюс m в квадрате =49.$ Решением этой системы в натуральных числах является единственная пара $n=5,$ $m=3.$

Ответ: 125.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Объём и площадь поверхности, Олимпиадная геометрия. Разрезания

Спрятать решение · Помощь