РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 5678 Добавить в вариант

Пятеро преподавателей проверяют олимпиадные работы. Первый, четвертый и пятый преподаватели, работая вместе, могут проверить все работы за 20 часов. Второй, третий и пятый  — за 15 часов. Если эти работы проверяют все преподаватели, кроме пятого, то все работы будут проверены на 10 часов. Во сколько раз быстрее будут проверены все работы, если в проверке участвуют все пять преподавателей по сравнению с тем, когда проверяет все работы только пятый преподаватель.

Спрятать решение

Решение.

Пусть П_i $левая круглая скобка i=\overline1,5 правая круглая скобка$ производительность каждого преподавателя, все работы  — условная 1. Имеем:

$\Pi_1 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби , \qquad левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

$\Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби , \qquad левая круглая скобка 2 правая круглая скобка$

$\Pi_1 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_4= дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби . \qquad левая круглая скобка 3 правая круглая скобка$

Сложим все уравнения:

$2 левая круглая скобка \Pi_1 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби \Rightarrow \Pi_1 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5= дробь: числитель: 13, знаменатель: 120 конец дроби ,$ $2 левая круглая скобка \Pi_1 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow \Pi_1 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5= дробь: числитель: 13, знаменатель: 120 конец дроби ,$

тогда

$левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 правая круглая скобка \Rightarrow \Pi_1 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_5 минус \Pi_1 минус \Pi_2 минус \Pi_3 минус \Pi_4= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 \Pi_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби \Rightarrow \Pi_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 120 конец дроби .$ $левая круглая скобка 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 правая круглая скобка \Rightarrow$
$\Rightarrow \Pi_1 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_5 минус \Pi_1 минус \Pi_2 минус \Pi_3 минус \Pi_4= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби \Rightarrow$
$\Rightarrow 2 \Pi_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 20 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби \Rightarrow \Pi_5= дробь: числитель: 1, знаменатель: 120 конец дроби .$

следовательно,

$дробь: числитель: \Pi_1 плюс \Pi_2 плюс \Pi_3 плюс \Pi_4 плюс \Pi_5, знаменатель: \Pi_5 конец дроби =13.$

Ответ: 13.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Балл
Задача решена полностью с необходимыми пояснениями	10
Ход решения и пояснения верны, допущена арифметическая ошибка	8
Система уравнений составлена, но нет решения и ответа	2
Ошибочные предпосылки	0
Максимальный балл	10

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра. Текстовые задачи

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь