Сколь­ко су­ще­ству­ет четырёхзнач­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма цифр каж­до­го из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 7?

Даны два на­ту­раль­ных числа. Боль­шее из них равно квад­ра­ту их раз­но­сти, а мень­шее из них в 8 раз боль­ше их наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля. Най­ди­те наи­мень­шее общее крат­ное этих двух чисел.

Найти пло­щадь вы­пук­ло­го мно­го­уголь­ни­ка, ко­ор­ди­на­ты вер­шин ко­то­ро­го суть ре­ше­ния си­сте­мы урав­не­ний:

Шайка пи­ра­тов нашла клад в 15000 зо­ло­тых монет. Они до­го­во­ри­лись, что не­ко­то­рые из них по­лу­чат по 48 монет, а осталь­ные  — по 49 монет. Клад уда­лось по­де­лить без остат­ка. Какое наи­мень­шее число пи­ра­тов может по­лу­чить по 49 монет?

Три раз­лич­ных корня урав­не­ния со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Най­ди­те наи­боль­ший из кор­ней, ответ при не­об­хо­ди­мо­сти округ­ли­те до сотых.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке ABCDEF в се­ре­ди­нах сто­рон AB, BC, CD, DE, EF и FA по­став­ле­ны точки G, H, I, J, K и L со­от­вет­ствен­но. При пе­ре­се­че­нии от­рез­ков AK, BL, CG, DH, EI, FJ об­ра­зу­ет­ся дру­гой ше­сти­уголь­ник. Най­ди­те его пе­ри­метр, если BC  =  3. Ответ при не­об­хо­ди­мо­сти округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те сумму кор­ней урав­не­ния

при­над­ле­жа­щих от­рез­ку [2020; 2028].

Най­ди­те ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных при каж­дом из ко­то­рых среди кор­ней урав­не­ния име­ет­ся по­ло­жи­тель­ное ра­ци­о­наль­ное число.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точки K, L и M лежат со­от­вет­ствен­но на пря­мых AD, CD и DD₁, причём AK  =  2, DK  =  9, CL  =  31, DL  =  20, DM  =  16, D₁M  =  5. Найти пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K, L и M. Ответ округ­лить до целых.