РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 9190 Добавить в вариант

Найдите количество натуральных $n меньше 2023,$ при каждом из которых среди корней уравнения $x минус корень из: начало аргумента: x конец аргумента =n x минус корень из: начало аргумента: n x конец аргумента$ имеется положительное рациональное число.

Спрятать решение

Решение.

Исходное уравнение равносильно равносильно уравнению

$x левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: n конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: n конец аргумента правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: x конец аргумента левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: n конец аргумента правая круглая скобка .$

Если n  =  1, то любое неотрицательное число x будет решением, поэтому n  =  1 подходит. Если $n не равно q 1,$ x > 0, получаем уравнение

$корень из: начало аргумента: x конец аргумента левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: n конец аргумента правая круглая скобка =1,$

откуда

$x= дробь: числитель: 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: n конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс n плюс 2 корень из: начало аргумента: n конец аргумента конец дроби .$

Значит, x будет рациональным только тогда, когда $корень из: начало аргумента: n конец аргумента принадлежит N .$ Таким образом, в качестве n подходят все точные квадраты натуральных чисел, не превосходящие 2022: $1,2 в квадрате , 3 в кубе , \ldots, 44 в квадрате$   — итого 44 значения.

Ответ: 44.

-------------
Дублирует задание № 9173.

Олимпиада школьников Ломоносов, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2023 год

Спрятать решение · Помощь