РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 9187 Добавить в вариант

Три различных корня уравнения $8 x в кубе минус 12 x в квадрате минус 2 x плюс a=0$ составляют арифметическую прогрессию. Найдите наибольший из корней, ответ при необходимости округлите до сотых.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $x_1 меньше x_2 меньше x_3$   — корни уравнения. Так как они образуют арифметическую прогрессию, то $x_2= дробь: числитель: x_1 плюс x_3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому $x_1 плюс x_2 плюс x_3=3 умножить на x_2.$ С другой стороны, по теореме Виета для многочлена третьей степени $x_1 плюс x_2 плюс x_3= дробь: числитель: 12, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $x_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Так как x₂  =  0,5 корень, то

$8 левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка в кубе минус 12 левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка плюс a=0,$

откуда a  =  3. Далее,

$8 x в кубе минус 12 x в квадрате минус 2 x плюс 3= левая круглая скобка x минус 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 x в квадрате минус 8 x минус 6 правая круглая скобка$

и два оставшихся корня равны −0,5 и 1,5. Значит, наибольший корень равен 1,5.

Ответ: 1,5.

Олимпиада школьников Ломоносов, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2023 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях

Спрятать решение · Помощь