При каких натуральных n > 1 найдутся n подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2016?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, 
...,
сумма которых равна 2016. Тогда
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и 
имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на 
откуда 
значит,
что противоречит 
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, то есть делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит. Тогда:
1) если 
то 
2) если 
то 
3) если 
то 
4) если 
то 
5) если 
то 
Ответ: при n, равном 3, 7, 9, 21 или 63.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что 
число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 2016. Чему может равняться наибольшее из этих чисел?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, 
сумма которых равна 2016 . Тогда 
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на 
откуда
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, т. е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит, и найдём соответствующее значение 
Если
если
если
Ответ: 63, 106, 228, 291 или 673.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
Сколько существует натуральных чисел n > 1, для которых найдутся n подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2016?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, 
сумма которых равна 2016. Тогда
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на откуда
что противоречит
Значит, n — нечётный делитель числа 4032 , т. е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит.
Если
если
если
если
если
или
Всего вышло пять подходящих n.
Ответ: 5.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
На доске написано несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 2016. Чему может равняться наименьшее из этих чисел?
Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел а, ..., сумма которых равна 2016. Тогда
или, после алгебраических преобразований,
Заметим, что n и имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на откуда 
и
что противоречит 
Значит, n — нечётный делитель числа 4032, то есть делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит, и найдём соответствующие значения a. Тогда:
1) если откуда 
2) если откуда
3) если 
откуда 
4) если 
откуда
5) если 
откуда
Ответ: 1, 86, 220, 285 или 671.
Общие критерии оценивания
По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):
а) «+» — задача решена полностью;
б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;
в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;
г) «−» — задача не решена;
д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».
При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».
Комментарий по оцениванию данной задачи
В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «∓».
Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».
Наверх