сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

На доске на­пи­са­но не­сколь­ко (боль­ше од­но­го) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, сумма ко­то­рых равна 2016. Чему может рав­нять­ся наи­мень­шее из этих чисел?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пред­по­ло­жим, что для не­ко­то­ро­го n на­шлись n под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел а, a плюс 1, ..., a плюс левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , сумма ко­то­рых равна 2016. Тогда

n a плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка n , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2016,

или, после ал­геб­ра­и­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний,

n левая круг­лая скоб­ка 2 a плюс n минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =4032=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 в квад­ра­те умно­жить на 7.

За­ме­тим, что n и 2 a плюс n минус 1 имеют раз­ную чётность. По­это­му, если n чётно, то n долж­но де­лит­ся на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 6 пра­вая круг­лая скоб­ка =64, от­ку­да n боль­ше или равно 64 и

2 a плюс n минус 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4032 , зна­ме­на­тель: 64 конец дроби =63,

что про­ти­во­ре­чит 2 a плюс n минус 1 боль­ше n.

Зна­чит, n  — нечётный де­ли­тель числа 4032, то есть де­ли­тель числа 63. Про­ве­рим, что каж­дый из них под­хо­дит, и найдём со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния a. Тогда:

1)  если n=3: 2 a плюс 3 минус 1=1344, от­ку­да  a=671;

2)  если n=7: 2 a плюс 7 минус 1=576, от­ку­да a=285 ;

3)  если n=9:  2 a плюс 9 минус 1=448, от­ку­да a=220 ;

4)  если n=21:  2 a плюс 21 минус 1=192, от­ку­да a=86;

5)  если n=63:  2 a плюс 63 минус 1=64, от­ку­да a=1.

 

Ответ: 1, 86, 220, 285 или 671.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Общие кри­те­рии оце­ни­ва­ния

По ре­зуль­та­там про­вер­ки каж­до­го за­да­ния вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок (пе­ре­чис­ле­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния):

а) «+» — за­да­ча ре­ше­на пол­но­стью;

б) «±» — за­да­ча ре­ше­на с не­до­че­та­ми, не вли­я­ю­щи­ми на общий ход ре­ше­ния;

в) «∓» — за­да­ча не ре­ше­на (на­при­мер, в ре­ше­нии со­дер­жат­ся гру­бые ошиб­ки), но име­ют­ся со­дер­жа­тель­ные про­дви­же­ния;

г) «−» — за­да­ча не ре­ше­на;

д) за за­да­чу, к ре­ше­нию ко­то­рой участ­ник не при­сту­пал, ста­вит­ся оцен­ка «0».

При под­ве­де­нии ито­гов учи­ты­ва­ет­ся толь­ко ко­ли­че­ство в целом ре­шен­ных задач — задач, за ко­то­рые по­став­ле­на оцен­ка «+» или «±».

Ком­мен­та­рий по оце­ни­ва­нию дан­ной за­да­чи

В ва­ри­ан­те II не­об­хо­ди­мо было найти все воз­мож­но­сти для наи­мень­ше­го из чисел, на­пи­сан­ных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вме­сто этого най­де­но толь­ко какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать наи­мень­шее из чисел, на­пи­сан­ных на доске (т. е. 1), то за за­да­чу ста­вит­ся оцен­ка не выше «∓». Ана­ло­гич­но для ва­ри­ан­та III. В слу­чае, если не­вер­но понят во­прос в ва­ри­ан­те II или III, но при­сут­ству­ет пол­ное ре­ше­ние с не­пол­ным от­ве­том (т. е. ре­аль­но най­де­ны все воз­мож­но­сти для наи­боль­ше­го/наи­мень­ше­го из чисел, но из-за не­пра­виль­но­го по­ни­ма­ния усло­вия, в ка­че­стве от­ве­та вы­бра­но толь­ко одно из них) — «∓».

Не­вер­ное до­ка­за­тель­ство того, что n не­чет­ное (на­при­мер, из того, что  дробь: чис­ли­тель: 2016, зна­ме­на­тель: n конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: n минус 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби число целое де­ла­ет­ся вывод, что 2016 де­лит­ся на n, а n − 1 де­лит­ся на 2) — не выше «∓».


Аналоги к заданию № 4904: 4906 4907 4905 Все