РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 4907 Добавить в вариант

Сколько существует натуральных чисел n > 1, для которых найдутся n подряд идущих натуральных чисел, сумма которых равна 2016?

Спрятать решение

Решение.

Предположим, что для некоторого n нашлись n подряд идущих натуральных чисел a, $a плюс 1, \ldots, a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ сумма которых равна 2016. Тогда

$n a плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка дробь: числитель: n, знаменатель: 2 конец дроби =2016,$ или, после алгебраических преобразований, $n левая круглая скобка 2 a плюс n минус 1 правая круглая скобка =4032=2 в степени 6 умножить на 3 в квадрате умножить на 7.$

Заметим, что n и $2 a плюс n минус 1$ имеют разную чётность. Поэтому, если n чётно, то n должно делится на $2 в степени 6 =64,$ откуда

$n больше или равно 64,$ $2 a плюс n минус 1 меньше или равно дробь: числитель: 4032, знаменатель: 64 конец дроби =63,$ что противоречит $2 a плюс n минус 1 больше n.$

Значит, n  — нечётный делитель числа 4032 , т. е. делитель числа 63. Проверим, что каждый из них подходит.

Если $n=3:$

$2 a плюс 3 минус 1=1344,$ $a=671;$

если $n=7:$

$2 a плюс 7 минус 1=576,$ $a=285;$

если $n=9:$

$2 a плюс 9 минус 1=448,$ $a=220;$

если $n=21:$

$2 a плюс 21 минус 1=192,$ $a=86;$

если $n=63:$

$2 a плюс 63 минус 1=64,$

или

$a = 1.$

Всего вышло пять подходящих n.

Ответ: 5.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Общие критерии оценивания

По результатам проверки каждого задания выставляется одна из следующих оценок (перечислены в порядке убывания):

а) «+» — задача решена полностью;

б) «±» — задача решена с недочетами, не влияющими на общий ход решения;

в) «∓» — задача не решена (например, в решении содержатся грубые ошибки), но имеются содержательные продвижения;

г) «−» — задача не решена;

д) за задачу, к решению которой участник не приступал, ставится оценка «0».

При подведении итогов учитывается только количество в целом решенных задач — задач, за которые поставлена оценка «+» или «±».

Комментарий по оцениванию данной задачи

В варианте II необходимо было найти все возможности для наименьшего из чисел, написанных на доске (т. е. 1, 86, 220, 285, 671). Если вместо этого найдено только какое наименьшее значение может принимать наименьшее из чисел, написанных на доске (т. е. 1), то за задачу ставится оценка не выше «∓». Аналогично для варианта III. В случае, если неверно понят вопрос в варианте II или III, но присутствует полное решение с неполным ответом (т. е. реально найдены все возможности для наибольшего/наименьшего из чисел, но из-за неправильного понимания условия, в качестве ответа выбрано только одно из них) — «±».

Неверное доказательство того, что n нечетное (например, из того, что $дробь: числитель: 2016, знаменатель: n конец дроби плюс дробь: числитель: n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби$ число целое делается вывод, что 2016 делится на n, а n − 1 делится на 2) — не выше «∓».

Аналоги к заданию № 4904: 4906 4907 4905 Все

Объединенная межвузовская математическая олимпиада школьников, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Алгебра: числа. Делимость, признаки делимости, Алгебра: числа. Чётность / нечётность

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь