На­ту­раль­ные числа a и b та­ко­вы, что a + k де­лит­ся на b + k при всех на­ту­раль­ных k < b. До­ка­жи­те, что a – k де­лит­ся на b – k при всех на­ту­раль­ных k < b.

В круж­ке пат­ри­о­ти­че­ской песни за­ни­ма­ет­ся 12 школь­ни­ков, каж­дый из них знает не­сколь­ко песен (воз­мож­но, ни одной). Будем го­во­рить, что груп­па школь­ни­ков может спеть песню, если ее знает хотя бы один член груп­пы. Ру­ко­во­ди­тель круж­ка за­ме­тил, что любая груп­па из 10 круж­ков­цев может спеть ровно 20 песен, а любая груп­па из 8 круж­ков­цев  — ровно 16 песен. До­ка­жи­те, что груп­па из всех 12 круж­ков­цев может спеть ровно 24 песни.

До­ка­жи­те, что точки пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис про­ти­во­по­лож­ных углов тра­пе­ции вме­сте с кон­ца­ми лю­бо­го из её ос­но­ва­ний лежат на одной окруж­но­сти.

Будем го­во­рить, что точка плос­ко­сти (u, v) лежит междy па­ра­бо­ла­ми и если Най­ди­те наи­мень­шее ве­ще­ствен­ное p, при ко­то­ром вы­пол­не­но сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: любой от­ре­зок, концы и се­ре­ди­на ко­то­ро­го лежат между па­ра­бо­ла­ми и це­ли­ком лежит между па­ра­бо­ла­ми и

Есть две кучки кам­ней: 1703 камня в одной кучке и 2022 в дру­гой. Саша и Оля иг­ра­ют в игру, делая ходы по оче­ре­ди, на­чи­на­ет Саша. Пусть перед ходом иг­ро­ка кучи со­дер­жат a и b кам­ней, при­чем Тогда своим ходом иг­ро­ку раз­ре­ша­ет­ся взять из кучи с a кам­ня­ми любое ко­ли­че­ство кам­ней от 1 до b. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сде­лать ход. Кто вы­иг­ра­ет при пра­виль­ной игре?

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­де­на ме­ди­а­на BM. На ка­са­тель­ной в точке C к опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка BMC от­ме­че­на точка D так, что ∠CBD  =  90°. От­рез­ки AD и BM пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка BDE лежит на пря­мой AC.

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, любые два из них по­лу­ча­ют­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой цифр (ноль на пер­вое место ста­вить нель­зя). При каком наи­боль­шем n все эти числа могут де­лить­ся на наи­мень­шее из них?