Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В треугольнике ABC проведена медиана BM. На касательной в точке C к описанной окружности треугольника BMC отмечена точка D так, что ∠CBD = 90°. Отрезки AD и BM пересекаются в точке E. Докажите, что центр описанной окружности треугольника BDE лежит на прямой AC.
Решение.
Пусть N — середина BD, X — середина CD, O — пересечение прямых NX (т. е. серединного перпендикуляра к BD) и АC. Тогда 
откуда ВMOX — вписанный. Поэтому 
(последнее в силу того, что MX — средняя линия в ACD), т. е. E лежит на окружности с центром в O, проходящей через B и D, что и требовалось доказать.