В кружке патриотической песни занимается 12 школьников, каждый из них знает несколько песен (возможно, ни одной). Будем говорить, что группа школьников может спеть песню, если ее знает хотя бы один член группы. Руководитель кружка заметил, что любая группа из 10 кружковцев может спеть ровно 20 песен, а любая группа из 8 кружковцев — ровно 16 песен. Докажите, что группа из всех 12 кружковцев может спеть ровно 24 песни.
Выберем 10 кружковцев. Из них любые 2 знают 4 песни, которые не знакомы остальным 8 из выбранной десятки. Тогда если разбить десятку на 5 групп по 2 кружковца, получится, что каждая такая пара знает 4 песни, не знакомых остальным, это уже 20 песен. Следовательно, других песен в этой десятке нет, и для любых 5 пар кружковцев каждой известны индивидуальные 10 песен. Если разбить кружковцев на 6 пар, из сказанного выше, каждая пара знает ровно 4 песни, а остальные их не знают. Итого, общее число знакомых кружковцам песен 24.