Даны n различных натуральных чисел, любые два из них получаются друг из друга перестановкой цифр (ноль на первое место ставить нельзя). При каком наибольшем n все эти числа могут делиться на наименьшее из них?
Ясно, что больше девяти чисел быть не может. Мы будем пользоваться известным свойством периода чисто периодической рациональной дроби 
со взаимно простыми (a, b): длина периода равна наименьшему натуральному t, для которого 
а сам период T равен числу 
Из этого следует, что если 
и 
—
то период первой дроби ровно в k раз больше периода второй.
Рассмотрим дроби 
Они имеют период одной и той же длины, и все они делятся на период равный 105263157894736842. С другой стороны, можно проверить, что 10 является первообразным корнем по модулю 19. Поэтому числа 
при 
Можно проверить, что 10 является первообразным корнем по модулю 19. Поэтому числа 
при 
после удаления целой части являются всеми 18 правильными несократимыми дробями со знаменателем 19. Их периоды имеют одинаковую длину и получаются из периода дроби 
циклическими сдвигами на s цифр вправо. В частности, они все состоят из одинакового набора цифр. (И все, кроме 
не начинаются с нуля, т. е. представляют из себя натуральные числа одинаковой длины). Из предыдущего абзаца вытекает, что периоды дробей 
делятся на период дроби и вместе они образуют пример из 9 чисел.
Ответ: 9.