Сумма положительных чисел a, b, c и d не превосходит 4. Найдите наибольшее значение выражения
Решение. По неравенству о средних для четырех чисел имеем
Просуммируем это неравенство с тремя аналогичными и получим, что
Равенство достигается, когда 
Ответ: 
Приведём другое решение.
По неравенству Коши-Буняковского для наборов чисел 
и 
имеем
А по неравенству Коши-Буняковского для наборов 
и 1, 1, 1, 1 имеем
поэтому 
Аналогично по неравенству Коши-Буняковского для наборов 
и 1, 1, 1, 1 имеем
поэтому
Следовательно,
Равенство достигается, когда
Приведём ещё одно решение.
По неравенству Коши-Буняковского для наборов чисел и имеем
Оценим по-отдельности сомножители в правой части. По неравенству о средних для двух чисел 
поэтому
Аналогично по неравенству о средних для двух чисел
поэтому
Следовательно,
Равенство достигается, когда
Ответ: 
имеем:
и 1, 1, 1, 1 имеем:
и 
имеем:
и 1, 1, 1, 1 имеем 
имеем 
и 1,1 , 1,1 имеем 
Таким образом, 
