сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сумма по­ло­жи­тель­ных чисел a, b, c и d не пре­вос­хо­дит 4. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 3 a b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те плюс 3 b c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c в квад­ра­те плюс 3 c d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d в квад­ра­те плюс 3 d a конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По не­ра­вен­ству о сред­них для че­ты­рех чисел имеем

ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 3 a b конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 b пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4 a плюс левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Про­сум­ми­ру­ем это не­ра­вен­ство с тремя ана­ло­гич­ны­ми и по­лу­чим, что

ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 3 a b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те плюс 3 b c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c в квад­ра­те плюс 3 c d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d в квад­ра­те плюс 3 d a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 a плюс 3 b плюс 8, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 b плюс 3 c плюс 8, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 c плюс 3 d плюс 8, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 d плюс 3 a плюс 8, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 8 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 32, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, когда a = b = c = d = 1.

 

Ответ: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

По не­ра­вен­ству Коши-Бу­ня­ков­ско­го для на­бо­ров чисел ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та и ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та имеем

левая круг­лая скоб­ка ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 b пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b левая круг­лая скоб­ка b плюс 3 c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c левая круг­лая скоб­ка c плюс 3 d пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d левая круг­лая скоб­ка d плюс 3 a пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка \times
\times левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

А по не­ра­вен­ству Коши-Бу­ня­ков­ско­го для на­бо­ров ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та и 1, 1, 1, 1 имеем

левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 1 плюс 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 4 в квад­ра­те ,

по­это­му ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 4. Ана­ло­гич­но по не­ра­вен­ству Коши-Бу­ня­ков­ско­го для на­бо­ров ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та и 1, 1, 1, 1 имеем

левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше или равно левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка b плюс 3 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка c плюс 3 d пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка d плюс 3 a пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка \times
\times левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 1 плюс 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =16 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 64,

по­это­му

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 8.

Сле­до­ва­тель­но,

ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 3 a b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те плюс 3 b c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c в квад­ра­те плюс 3 c d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d в квад­ра­те плюс 3 d a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 8 конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, когда a = b = c = d = 1.

 

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

По не­ра­вен­ству Коши-Бу­ня­ков­ско­го для на­бо­ров чисел ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та и ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та , ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та имеем

левая круг­лая скоб­ка ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 b пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b левая круг­лая скоб­ка b плюс 3 c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c левая круг­лая скоб­ка c плюс 3 d пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d левая круг­лая скоб­ка d плюс 3 a пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те \leqslan левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка \times
\times левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Оце­ним по-от­дель­но­сти со­мно­жи­те­ли в пра­вой части. По не­ра­вен­ству о сред­них для двух чисел ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: b плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: c плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: d плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a плюс b плюс c плюс d плюс 4, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 4.

Ана­ло­гич­но по не­ра­вен­ству о сред­них для двух чисел

2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 2 y конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 y пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 y плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a плюс 3 b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b плюс 3 c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c плюс 3 d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d плюс 3 a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: a плюс 3 b плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: b плюс 3 c плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: c плюс 3 d плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: d плюс 3 a плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка a плюс b плюс c плюс d пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 16, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 8.

Сле­до­ва­тель­но,

ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс 3 a b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b в квад­ра­те плюс 3 b c конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c в квад­ра­те плюс 3 c d конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: d в квад­ра­те плюс 3 d a конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 8 конец ар­гу­мен­та = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ра­вен­ство до­сти­га­ет­ся, когда a = b = c = d = 1.


Аналоги к заданию № 9625: 9630 9635 9640 Все

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024