Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний:

В ряд вы­пи­са­но 2021 про­стое на­ту­раль­ное число. Каж­дое, кроме край­них, от­ли­ча­ет­ся от од­но­го из своих со­се­дей на 12, а от дру­го­го  — на 6. До­ка­жи­те, что среди этих чисел есть рав­ные.

Дан вы­пук­лый пя­ти­уголь­ник ABCDE. Точки A₁, B₁, C₁, D₁, E₁ та­ко­вы, что Kроме того, До­ка­жи­те, что тогда

Штир­лиц хочет по­слать в Центр шиф­ров­ку, пред­став­ля­ю­щую собой код из 100 сим­во­лов «точка» или «тире». По­лу­чен­ная им на­ка­ну­не из Цен­тра Ин­струк­ция о кон­спи­ра­ции гла­сит:

— при пе­ре­да­че шиф­ров­ки по радио ровно 49 сим­во­лов сле­ду­ет за­ме­нить на про­ти­во­по­лож­ные;

— рас­по­ло­же­ние «не­вер­ных» сим­во­лов воз­ла­га­ет­ся на пе­ре­да­ю­щую сто­ро­ну и с Цен­тром не об­суж­да­ет­ся.

До­ка­жи­те, что Штир­лиц может по­слать свою шиф­ров­ку 10 раз, под­би­рая при каж­дой пе­ре­да­че 49 сим­во­лов так, чтобы Центр, по­лу­чив эти 10 шиф­ро­вок, имел воз­мож­ность од­но­знач­но вос­ста­но­вить ис­ход­ный код.

Вер­ши­ны вы­пук­ло­го 2550-уголь­ни­ка по­кра­ше­ны в чер­ный и белый цвета так: чёрная, белая, две чёрные, две белые, три чёрные, три белые, ..., 50 чёрных, 50 белых. Даня раз­ре­зал его на четырёхуголь­ни­ки диа­го­на­ля­ми, не име­ю­щи­ми общих внут­рен­них точек. До­ка­жи­те, что найдётся четырёхуголь­ник раз­ре­за­ния, в ко­то­ром две со­сед­ние вер­ши­ны чёрные, а две дру­гие вер­ши­ны  — белые.

Пря­мая ℓ про­хо­дит через вер­ши­ну C ромба ABCD и пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ния его сто­рон AB и AD в точ­ках X и Y со­от­вет­ствен­но. Пря­мые DX и BY вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка AXY, в точ­ках P и Q. До­ка­жи­те, что окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка PCQ, ка­са­ет­ся пря­мой ℓ.

Коля нашёл не­сколь­ко по­пар­но вза­им­но про­стых на­ту­раль­ных чисел, каж­дое из ко­то­рых мень­ше квад­ра­та лю­бо­го дру­го­го. До­ка­жи­те, что сумма ве­ли­чин, об­рат­ных к Ко­ли­ным чис­лам, мень­ше 2.