Вершины выпуклого 2550-угольника покрашены в черный и белый цвета так: чёрная, белая, две чёрные, две белые, три чёрные, три белые, ..., 50 чёрных, 50 белых. Даня разрезал его на четырёхугольники диагоналями, не имеющими общих внутренних точек. Докажите, что найдётся четырёхугольник разрезания, в котором две соседние вершины чёрные, а две другие вершины — белые.
Для каждого четырехугольника разбиения вычислим количество его сторон с двумя черными концами, и все эти числа просуммируем. Легко видеть, что у четырехугольника нужного вида такая сторона одна, а для остальных окрасок их число четно. Если утверждение неверно, то сумма всех этих чисел четна. При этом все внутренние стороны учитывались два раза. На периметре же четырехугольника сторон нужного вида 
—