РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8476 Добавить в вариант

Решите систему уравнений:

$система выражений синус в квадрате x плюс косинус в квадрате y=y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , синус в квадрате y плюс косинус в квадрате x=x в квадрате . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Поменяв, если нужно, знак у переменных, будем считать, что $x, y больше или равно 0.$ Сразу ясно, что $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка меньше или равно 2,$ поэтому $x, y меньше или равно корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Сложив два исходных равенства, получим, что $x в квадрате плюс y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =2,$ откуда $x больше или равно 1,$ $y меньше или равно 1,$ или наоборот. Ясно, что $x=y=1$ является решением.

Пусть $x больше 1 больше y.$ Тогда $синус x больше синус y$ и $косинус y больше косинус x.$ Значит, $y в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка больше x в квадрате ,$ что противоречит предположению. Точно так же разбирается случай $x меньше 1 меньше y.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка \pm 1; \pm 1 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Система тригонометрических уравнений, Методы алгебры. Косвенные методы в уравнения и неравенствах

Спрятать решение · Помощь