РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8487 Добавить в вариант

Прямая ℓ проходит через вершину C ромба ABCD и пересекает продолжения его сторон AB и AD в точках X и Y соответственно. Прямые DX и BY вторично пересекают окружность, описанную около треугольника AXY, в точках P и Q. Докажите, что окружность, описанная около треугольника PCQ, касается прямой ℓ.

Спрятать решение

Решение.

Биссектриса AC угла DAB вторично пересекает описанную окружность треугольника AXY в середине T дуги XY. Поскольку

$\angle B Q T=\angle Y Q T=\angle X A T=\angle B C A,$

четырёхугольник QBCT  — вписанный. Аналогично, ТСDP  — вписанный. B силу симметрии относительно AC и вписанности TCDP выполнено равенство $\angle A T B=\angle D T C=\angle D P C.$ Далeе,

$\angle Q C X=\angle B C X минус \angle B C Q=\angle A Y X минус \angle B T Q,$

$\angle A Y X минус \angle B T Q=\angle A Y Q плюс \angle Q Y X минус \angle B T Q=\angle A T Q минус \angle B T Q плюс \angle Q P X=$
$=\angle A T B плюс \angle Q P X=\angle D P C плюс \angle Q P X=\angle Q P C.$ $\angle A Y X минус \angle B T Q=\angle A Y Q плюс \angle Q Y X минус \angle B T Q=$
$=\angle A T Q минус \angle B T Q плюс \angle Q P X=$
$=\angle A T B плюс \angle Q P X=\angle D P C плюс \angle Q P X=\angle Q P C.$

Итого, $\angle Q C X=\angle Q P C,$ из чего и следует нужное нам касание. Что требовалось доказать.

Санкт-Петербургская олимпиада школьников, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности касающиеся

Спрятать решение · Помощь