РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 8343 Добавить в вариант

Число $a больше 0$ таково, что неравенства $2 меньше или равно a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно 4$ выполняются ровно при пяти натуральных значениях n. При скольких натуральных значениях n могут выполняться неравенства $4 меньше или равно a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно 8 ?$

Спрятать решение

Решение.

Ясно, что $a больше 1.$ Полагая $логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка 2= альфа ,$ неравенства $2 меньше или равно a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно 4$ перепишем в виде $альфа меньше или равно n меньше или равно 2 альфа ,$ а неравенства $4 меньше или равно a в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка меньше или равно 8$   — в виде $2 альфа меньше или равно n меньше или равно 3 альфа .$ Согласно условию, для некоторого натурального числа m выполнены неравенства

$m минус 1 меньше альфа меньше или равно m меньше m плюс 4 меньше или равно 2 альфа меньше m плюс 5.$

Из них следует, что

$2 m минус 2 меньше 2 альфа меньше или равно 2 m меньше 2 m плюс 3 меньше 3 альфа меньше 2 m плюс 5.$

Таким образом, неравенствам $2 альфа меньше или равно n меньше или равно 3 альфа$ обязательно удовлетворяет четвёрка чисел $левая фигурная скобка 2 m; 2 m плюс 1; 2 m плюс 2; 2 m плюс 3 правая фигурная скобка$ и, возможно, одно или оба числа пары $левая фигурная скобка 2 m минус 1; 2 m плюс 4 правая фигурная скобка .$

Приведём три соответствующих примера. При $альфа =4,6$ имеем $m=5$ и $2 m минус 1 меньше 2 альфа меньше 3 альфа меньше 2 m плюс 4 ;$ при $альфа =5,2$ число m равно 6 и выполняются неравенства $2 альфа меньше 2 m минус 1 меньше 3 альфа меньше 2 m плюс 4;$ наконец, если $альфа =5,4,$ то $m=6$ и $2 альфа меньше 2 m минус 1 меньше 2 m плюс 4 меньше 3 альфа .$

Ответ: четыре, пять или шесть.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии	Оценка	Баллы
Задача решена полностью	+	14
Получен ответ «от четырёх до шести», но не показано, что эти три возможности реализуются	±	9
Приведены все три соответствующих примера, но одна из границ (верхняя или нижняя) не доказана	+/2	6
Приведены только соответствующие примеры	∓	3

Аналоги к заданию № 8343: 8359 Все

Всероссийская олимпиада школьников Миссия выполнима. Твое призвание-финансист!, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Неравенства, Разное. Оценка плюс пример

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь