У Коли есть квад­рат­ный трёхчлен На одной сто­ро­не бу­маж­ки он на­пи­сал его корни, а с дру­гой сто­ро­ны этой же бу­маж­ки  — его ко­эф­фи­ци­ен­ты a и b. Ока­за­лось, что все на­пи­сан­ные числа яв­ля­ют­ся це­лы­ми и от­лич­ны­ми от нуля. Затем он отдал эту бу­маж­ку Оле, ко­то­рая, по­смот­рев на бу­маж­ку, ска­за­ла, что Коля ско­рее всего ошиб­ся, так как на обеих сто­ро­нах бу­маж­ки на­пи­са­ны одни и те же числа, чего явно не может быть. Опре­де­ли­те дей­стви­тель­но ли ошиб­ся Коля или, если он всё-таки всё сде­лал пра­виль­но, то какие числа на­пи­са­ны на бу­маж­ке?

В ромб ABCD впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Точки P и Q вы­бра­ны на сто­ро­нах BC и CD со­от­вет­ствен­но таким об­ра­зом, что PQ ка­са­ет­ся ω в точке L. Обо­зна­чим точку ка­са­ния ω со сто­ро­ной CD через K. До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQD равна пло­ща­ди четырёхуголь­ни­ка OLQK.

В клас­се учит­ся 36 че­ло­век. Каж­дое утро за­хо­дя в класс не­ко­то­рые из них в ка­че­стве при­вет­ствия жмут друг другу руки, причём никто ни­ко­му не жмёт руку за день более од­но­го раза. В один из дней ока­за­лось, что ни­ка­кие двое уче­ни­ков, ко­то­рые сде­ла­ли оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство ру­ко­по­жа­тий, не жали руку друг другу. Какое мак­си­маль­ное число ру­ко­по­жа­тий могло быть со­вер­ше­но в этот день?

Назовём число n вол­шеб­ным, если оно делит число

Най­ди­те все вол­шеб­ные числа n в про­ме­жут­ке от 10 до 100.

Су­ще­ству­ет ли мно­же­ство на­ту­раль­ных чисел A, для ко­то­ро­го вы­пол­не­ны сле­ду­ю­щие свой­ства: все­воз­мож­ные суммы двух эле­мен­тов из A уни­каль­ны (т. е. не бы­ва­ет двух раз­лич­ных пар эле­мен­тов, у ко­то­рых суммы оди­на­ко­вы), и при этом среди этих сумм можно найти 2020 под­ряд иду­щих на­ту­раль­ных чисел.