В ромб ABCD вписана окружность 
с центром O. Точки P и Q выбраны на сторонах BC и CD соответственно таким образом, что PQ касается ω в точке L. Обозначим точку касания ω со стороной CD через K. Докажите, что площадь треугольника PQD равна площади четырёхугольника OLQK.
Для начала заметим, что центр окружности ромба совпадает с центром самого ромба, а значит, является серединой диагонали BD. Teперь отметим точки пересечения отрезков OL и OK с отрезком DP: точки M и N соответственно. Тогда вычитая из обеих площадей площадь пятиугольника NMLQK получаем, что нужное нам равенство площадей эквивалентно равенству 
Добавим теперь к обеим частям равенства площади треугольников OPM и OND. Получим, что теперь наше равенство выглядит следующим образом 
Теперь отметим точку R касания вписанной в ромб окружности со стороной BC. В силу симметрии относительно диагонали AC треугольники OKD и ORB равны. А в силу симметрии касательных относительно прямой OP равны треугольники OPL и OPR (OP очевидно является биссектрисой угла между касательными и PR = PL). Тогда наше равенство переходит в следующее 
Но площади этих треугольников равны, так как медиана треугольника BPD делит его на два равновеликих.