РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 11300 Добавить в вариант

Турнир имени М. В. Ломоносова, 10, 7, 8, 11, 6, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Методы геометрии. Свойства хорд, касательных, секущих, Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: параллелограмм, Геометрия: планиметрия. Окружности вписанные

В ромб ABCD вписана окружность $\omega$ с центром O. Точки P и Q выбраны на сторонах BC и CD соответственно таким образом, что PQ касается ω в точке L. Обозначим точку касания ω со стороной CD через K. Докажите, что площадь треугольника PQD равна площади четырёхугольника OLQK.

Решение. Для начала заметим, что центр окружности ромба совпадает с центром самого ромба, а значит, является серединой диагонали BD. Teперь отметим точки пересечения отрезков OL и OK с отрезком DP: точки M и N соответственно. Тогда вычитая из обеих площадей площадь пятиугольника NMLQK получаем, что нужное нам равенство площадей эквивалентно равенству $S_P M L плюс S_N K D=S_O M N.$

Добавим теперь к обеим частям равенства площади треугольников OPM и OND. Получим, что теперь наше равенство выглядит следующим образом $S_O P L плюс S_O K D=S_O P D.$

Теперь отметим точку R касания вписанной в ромб окружности со стороной BC. В силу симметрии относительно диагонали AC треугольники OKD и ORB равны. А в силу симметрии касательных относительно прямой OP равны треугольники OPL и OPR (OP очевидно является биссектрисой угла между касательными и PR  =  PL). Тогда наше равенство переходит в следующее $S_O P D=S_O P L плюс S_O K D=S_O P R плюс S_O R B=S_O B P.$ Но площади этих треугольников равны, так как медиана треугольника BPD делит его на два равновеликих.

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Утверждается OL и BD ортогональны, PQ и BD параллельны и т. п.	−

Олимпиада: Турнир имени М. В. Ломоносова

Класс: 10, 7, 8, 11, 6, 9

Тур: 2 тур (заключительный)

Год: 2020

Ключ