До­ка­жем, что в общем слу­чае при не яв­ля­ют­ся вол­шеб­ны­ми числа толь­ко вида где p  — про­стое. Для этого раз­берём три слу­чая: когда n яв­ля­ет­ся про­стым, когда яв­ля­ет­ся про­стым, и когда ни n, ни не яв­ля­ют­ся про­сты­ми (в част­но­сти, если n нечётно, то не яв­ля­ет­ся про­стым).

Пер­вый слу­чай. Если n яв­ля­ет­ся про­стым. Рас­смот­рим вы­ра­же­ние

по мо­ду­лю n. Утвер­жда­ет­ся, что среди сла­га­е­мых в этой сумме встре­тят­ся все воз­мож­ные не­ну­ле­вые остат­ки по мо­ду­лю n. Так как раз­лич­ных не­ну­ле­вых остат­ков по мо­ду­лю n ровно и сла­га­е­мых столь­ко же до­ста­точ­но по­ка­зать, что все сла­га­е­мые дают раз­лич­ные остат­ки по мо­ду­лю n. Это дей­стви­тель­но так, по­то­му что в про­тив­ном слу­чае для не­ко­то­рых a и b таких, что было бы верно срав­не­ние

Но пе­ре­не­ся в этом срав­не­нии всё в левую часть по­лу­ча­ем

что не­воз­мож­но, так как все мно­жи­те­ли в про­из­ве­де­нии не де­лят­ся на n, а n  — про­стое. По­лу­чен­ное про­ти­во­ре­чие до­ка­зы­ва­ет, что сла­га­е­мые яв­ля­ют­ся всеми воз­мож­ны­ми остат­ка­ми по мо­ду­лю n, а зна­чит, им сумма равна то есть крат­на n, так как n про­стое, боль­шее 9, а сле­до­ва­тель­но, нечётно.

Bторой слу­чай. Если яв­ля­ет­ся про­стым. Обо­зна­чим через p, тогда За­ме­тим, что среди чисел от 1 до есть толь­ко одно, крат­ное p: это само число p. Тогда при рас­кры­тии ско­бок в вы­ра­же­нии

все сла­га­е­мые кроме будут крат­ны p, а это сла­га­е­мое  — не будет. Зна­чит, и вся сумма не будет крат­на p, а сле­до­ва­тель­но, и 2p, то есть n. Зна­чит, в этом слу­чае число ма­ги­че­ским не яв­ля­ет­ся.

Тре­тий слу­чай. Если ни n, ни не яв­ля­ют­ся про­сты­ми. В этом слу­чае n можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния (т. к. n не­про­стое), причём оба мно­жи­те­ля будут боль­ше 2 (так как либо n, поделённое на любой нечётный про­стой де­ли­тель будет боль­ше двой­ки, либо n  — сте­пень двой­ки, но в силу сте­пень двой­ки хотя бы четвёртая и, зна­чит, где оба мно­жи­те­ля боль­ше 2). То есть для не­ко­то­рых верно Тогда рас­кры­вая скоб­ки в вы­ра­же­нии

по­лу­ча­ем сла­га­е­мые вида где и два сла­га­е­мых Во всех сла­га­е­мых пер­во­го вида в про­из­ве­де­нии со­дер­жат­ся мно­жи­те­ли a, b и c, а зна­чит, после со­кра­ще­ния на c, остав­ше­е­ся про­из­ве­де­ние будет де­лить­ся на Те­перь за­ме­тим, что Тогда в слу­чае что во вто­ром сла­га­е­мом в про­из­ве­де­нии со­дер­жат­ся раз­лич­ные мно­жи­те­ли a, 2a, b, а зна­чит, после со­кра­ще­ния на a оста­нет­ся про­из­ве­де­ние крат­ное n. Если же то но тогда число и крат­но n. Ана­ло­гич­но до­ка­зы­ва­ет­ся, что по­след­нее, тре­тье сла­га­е­мое, крат­но n, а зна­чит, число яв­ля­ет­ся ма­ги­че­ским, так как все сла­га­е­мые крат­ны n. Оста­лось за­ме­тить, что чис­ла­ми, для ко­то­рых их по­ло­ви­на яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, яв­ля­ют­ся те и толь­ко те, что пе­ре­чис­ле­ны как ис­клю­чен­ные в от­ве­те.

Ответ: все числа от 10 до 100, кроме 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94.