В каж­дой клет­ке таб­ли­цы за­пи­са­но на­ту­раль­ное число. В каж­дой стро­ке име­ет­ся по край­ней мере 10 раз­лич­ных чисел, а в каж­дых че­ты­рех по­сле­до­ва­тель­ных стро­ках не более 15 раз­лич­ных чисел. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство раз­лич­ных чисел может быть в таб­ли­це?

Най­ди­те все про­стые p, для ко­то­рых числа и яв­ля­ют­ся удво­ен­ны­ми квад­ра­та­ми на­ту­раль­ных чисел.

Сумма по­ло­жи­тель­ных чисел a, b, c и d не пре­вос­хо­дит 4. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

Точка O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, а H  — точка пе­ре­се­че­ния его высот. Ока­за­лось, что пря­мая OH па­рал­лель­на сто­ро­не BC. На плос­ко­сти от­ме­ти­ли такую точку K, что ABHK  — па­рал­ле­ло­грамм. От­рез­ки OK и AC пе­ре­сек­лись в точке L. В каком от­но­ше­нии пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки L на от­ре­зок AH, делит AH?

В клас­се n маль­чи­ков и n де­во­чек Они рас­се­лись за круг­лым сто­лом так, что ни­ка­кие два маль­чи­ка и ни­ка­кие две де­воч­ки не сидят рядом. У учи­те­ля есть 2n кар­то­чек, на них на­пи­са­ны числа каж­дое по од­но­му разу. Он так раз­дал каж­до­му школь­ни­ку по одной кар­точ­ке, что число у любой де­воч­ки боль­ше числа у лю­бо­го маль­чи­ка. Затем каж­дая де­воч­ка на­пи­са­ла на ли­сточ­ке сумму чисел на трех кар­точ­ках: ее соб­ствен­ной и си­дя­щих рядом с ней маль­чи­ков. При каких n все по­лу­чен­ные n чисел могли ока­зать­ся рав­ны­ми?