Найдите все простые p, для которых числа 
и 
являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
Пусть 
и 
тогда
Поэтому либо 
либо 
кратно p. Из неравенства 
следует, что 
Таким образом, имеем систему из двух уравнений 
и 
решая ее, находим 
и, значит, 
Следовательно, p = 7.
Ответ: p = 7.
Приведём другое решение.
Пусть 
и 
тогда
Поэтому одно из чисел 2, y – x и y + x делится на p. Если 2 делится на p, то p = 2, что невозможно, поскольку 
не является удвоенным квадратом. Если y – x делится на p, то 
и, значит,
что невозможно. Следовательно, y + x делится на p. Заметим, что
Тогда если 
то 
откуда 
и, значит, 
Стало быть,
что также невозможно. Таким образом, осталось рассмотреть случаи p = 3, p = 5 и p = 7. В первых двух из них не является удвоенным квадратом, а p = 7 подходит.