Найдите все простые p, для которых числа и являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
Решение.
Пусть и тогда
Поэтому либо либо кратно p. Из неравенства следует, что Таким образом, имеем систему из двух уравнений и решая ее, находим и, значит, Следовательно, p = 7.
Ответ:p = 7.
Приведём другое решение.
Пусть и тогда
Поэтому одно из чисел 2, y – x и y + x делится на p. Если 2 делится на p, то p = 2, что невозможно, поскольку не является удвоенным квадратом. Если y – x делится на p, то и, значит,
что невозможно. Следовательно, y + x делится на p. Заметим, что
Тогда если то откуда и, значит, Стало быть,
что также невозможно. Таким образом, осталось рассмотреть случаи p = 3, p = 5 и p = 7. В первых двух из них не является удвоенным квадратом, а p = 7 подходит.
Найдите все простые p, для которых числа и являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
Решение.
Пусть и тогда Поскольку p — нечетно, и Следовательно, Поэтому либо y – x, либо y + x кратно p. Из неравенства следует, что поэтому
Таким образом, имеем систему из двух уравнений и решая ее, находим и, значит, Стало быть, откуда p = 11.
Ответ:p = 11.
Приведём другое решение.
Пусть и тогда
Поэтому одно из чисел 2, y – x и y + x делится на p. Если 2 делится на p, то p = 2, что невозможно, поскольку не является удвоенным квадратом. Если y – x делится на p, то и, значит,
что невозможно. Следовательно, y + x делится на p. Заметим, что
Тогда если то откуда и, значит, Стало быть,
что также невозможно. Таким образом, осталось рассмотреть случаи p = 3, p = 5, p = 7, p = 11 и p = 13. В последнем, а также в первых трех из них p + 7 не является удвоенным квадратом, а p = 11 подходит.
и 
являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
и 
тогда
либо 
кратно p. Из неравенства 
следует, что 
Таким образом, имеем систему из двух уравнений 
и 
решая ее, находим 
и, значит, 
Следовательно, p = 7.
и 
тогда
не является удвоенным квадратом. Если y – x делится на p, то 
и, значит,
то 
откуда 
и, значит, 
Стало быть,
и 
являются удвоенными квадратами натуральных чисел.
и 
тогда 
Поскольку p — нечетно, 
и 
Следовательно, 
Поэтому либо y – x, либо y + x кратно p. Из неравенства 
следует, что 
поэтому 
и 
решая ее, находим 
и, значит, 
Стало быть, 
откуда p = 11.
и 
тогда
не является удвоенным квадратом. Если y – x делится на p, то 
и, значит,
то 
откуда 
Стало быть,