Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, а H — точка пересечения его высот. Оказалось, что прямая OH параллельна стороне BC. На плоскости отметили такую точку K, что ABHK — параллелограмм. Отрезки OK и AC пересеклись в точке L. В каком отношении перпендикуляр, опущенный из точки L на отрезок AH, делит AH?
Пусть D — основание высоты из точки A, а точка E — пересечение этой высоты с описанной окружностью треугольника ABC, точка 
диаметрально противоположна точке A на этой окружности, а точка N — вторая точка пересечения прямой AK с этой окружностью. Из параллельности прямых OH и BC следует, что прямая OH перпендикулярна высоте AD. Поскольку 
—
и, значит, прямые 
и OH параллельны. Стало быть, OH — средняя линия треугольника 
поэтому AH = HE. Далее,
поэтому в треугольнике BEH отрезок BD является биссектрисой и высотой, а, значит, и медианой. Таким образом, HD = DE. Из равенств AH = HE и HD = DE получаем, что 
По условию прямые AK и BH параллельны, а прямая BH перпендикулярна прямой AC, поэтому угол NAC равен 90° и точки C и N диаметрально противоположны. Следовательно, угол NBC равен 90° и поэтому прямые NB и AH параллельны. Таким образом, четырехугольник AHBN является параллелограммом. Стало быть, 
и отрезок CA является медианой в треугольнике KCN. Но отрезок KO также является медианой в этом треугольнике. Следовательно, L — точка пересечения медиан этого треугольника и 
Тогда по теореме Фалеса 
Но мы уже знаем, что 
поэтому AM = MH.
Ответ: 1:1.
Приведём другое решение.
Заметим, что если точки 
и 
—
подобен треугольнику ABC с коэффициентом 
С другой стороны центр описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения высот треугольника 
Следовательно, 
и 
Пусть D — основание высоты из точки A, а M — основание перпендикуляра, опущенного из точки L на AH. Прямая 
—
—
В параллелограмме ABHK противоположные стороны равны, поэтому 
Треугольники ALK и 
подобны по двум углам 
как вертикальные, 
и их коэффициент подобия равен 2.
Пусть 
тогда 
и 
поскольку —
и 
так как треугольники ALM и ACD подобны.
Пусть HD = y, тогда 
и 
Следовательно, AM = y и
Таким образом, 
Приведём ещё одно решение.
Заметим, что если точки и — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC, то треугольник подобен треугольнику ABC с коэффициентом С другой стороны центр описанной окружности треугольника ABC является точкой пересечения высот треугольника Следовательно, 
и 
Пусть D — основание высоты из точки A, M — основание перпендикуляра, опущенного из точки L на AH, P — середина отрезка AK. Прямая — — Таким образом, По условию прямые AK и BH параллельны, а прямая BH перпендикулярна прямой AC, поэтому угол KAC равен 90°. По условию ABHK параллелограмм, значит, AK = BH. Отрезок 
— средняя линия треугольника CAK, поэтому
Кроме того, 
и 
перпендикулярны AC, поэтому точки O, и P лежат на одной прямой. Таким образом, 
и OP параллельна AK. Стало быть, AOPK — параллелограмм. Пусть Q — точка пересечения его диагоналей, тогда AQ = QP. Следовательно, 
и OQ — медианы треугольника AOP, а L — точка их пересечения, поэтому 
и, значит, 
Из подобия треугольников AML и ADC следует, что 
Тогда если AM = x, то 
и 
а, значит, MH = x и