Сюжет 1
На доске написана тройка целых чисел. Разрешается менять написанную на доске тройку (a,b,c) на тройку (f(a),f(b),f(c)), где f — квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, произвольное количество раз (при этом можно брать различные f на разных шагах).
1.1 Можно ли из тройки с числами 2, 4, 7 получить тройку чисел 2, 6, 9 в каком-нибудь порядке?
Если f — многочлен с целыми коэффициентами, то 
делится на 
при любых целых x, y. Теперь заметим, 
где 
— применяемые трехчлены, каждый член делится на предыдущий, а значит и на самую первую разность).
Ответ: нет.
то, подставляя мы получаем, например, систему: 
откуда, например, 
должно делиться на 6 (из (1,7) получается (x, z)) и быть делителем 6 
не умаляя общности, можно считать 
(поменять знаки у всей тройки можно всегда). Аналогично, 
поэтому наша тройка имеет вид 
или 
то есть, с точностью до прибавления константы, совпадает либо с начальной тройкой, либо с конечной. Противоречие (например, если мы предположим, что имеем дело с кратчайшей последовательностью операций, тогда например в переходе 