Сюжет 1
На доске написана тройка целых чисел. Разрешается менять написанную на доске тройку (a,b,c) на тройку (f(a),f(b),f(c)), где f — квадратный трехчлен с целыми коэффициентами, произвольное количество раз (при этом можно брать различные f на разных шагах).
1.2 Можно ли из тройки (1, 4, 7) получить (1, 10, 7) (числа именно таком порядке)?
Пусть какая-то последовательность трехчленов переводит (1, 4, 7) в (1, 10, 7). Несложно видеть, что одного такого трехчлена не существует (если этот трехчлен — 
то, подставляя мы получаем, например, систему: 
откуда, например, 
Предположим (x, y, z) — промежуточная тройка. 
должно делиться на 6 (из (1,7) получается (x, z)) и быть делителем 6 
не умаляя общности, можно считать 
(поменять знаки у всей тройки можно всегда). Аналогично, 
поэтому наша тройка имеет вид 
или 
то есть, с точностью до прибавления константы, совпадает либо с начальной тройкой, либо с конечной. Противоречие (например, если мы предположим, что имеем дело с кратчайшей последовательностью операций, тогда например в переходе
первый переход можно включить в последующие — противоречие с минимальностью).
Ответ: нет.
делится на 
при любых целых x, y. Теперь заметим, 
где 
— применяемые трехчлены, каждый член делится на предыдущий, а значит и на самую первую разность).