В сферическом корпусе зонда расположено оборудование в пяти капсулах сферической формы, три из которых попарно касаются друг друга, и их центры расположены в одной плоскости. Две остальные капсулы имеют меньший радиус 
см. Найти максимально возможный радиус трех одинаковых капсул.
Решение. Центры трех одинаковых сферических капсул, расположенных в одной плоскости (рис. 1), находятся в вершинах правильного треугольника ABC. Чтобы их радиусы были максимально возможными они должны касаться корпуса зонда. Обозначим их радиус R, тогда AB = 2R. Центр сферы корпуса зонда находится в точке пересечения медиан этого треугольника в точке O:
откуда
Тогда радиус корпуса зонда:
Рис. 1
Рис. 2
Рассмотрим плоскость перпендикулярную плоскости ABC, проходящую точку O (рис. 2). Тогда максимально возможный радиус сферы, которую можно разместить в корпусе зонда над тремя одинакового радиуса, равен 
Из треугольника AOE:
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания | Баллы |
|---|
| Задача решена правильно, ход решения правильный и обоснованный | 30 баллов |
| Задача решена в целом правильно и получен верный ответ, но есть мелкие замечания к решению (в решении допускаются незначительные неточности; имеются недостатки, которые легко устраняются; не рассмотрены некоторые простые частные случаи). | 20—28 баллов |
| Задача решена «наполовину», т. е. ход решения правильный, есть значительный прогресс в решении, но полное решение требует дополнительных существенных идей. | 14—18 баллов |
| Выбранный ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом не реализован в силу серьезных ошибок; доказаны вспомогательные утверждения, помогающие в решении задачи. | 8—12 баллов |
| Задача не решена, но рассмотрены отдельные важные случаи при отсутствии решения (или при ошибочном решении). | 2—4 балла |
| Решение задачи неправильное и не содержит идей, с помощью которых задача может быть решена, или задача не решалась. | 0 баллов |
Ответ: 
см.
Из треугольника AOE: 
