сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В сфе­ри­че­ском кор­пу­се зонда рас­по­ло­же­но обо­ру­до­ва­ние в пяти кап­су­лах сфе­ри­че­ской формы, три из ко­то­рых по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга, и их цен­тры рас­по­ло­же­ны в одной плос­ко­сти. Две осталь­ные кап­су­лы имеют мень­ший ра­ди­ус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та  см. Найти мак­си­маль­но воз­мож­ный ра­ди­ус трех оди­на­ко­вых кап­сул.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Цен­тры трех оди­на­ко­вых сфе­ри­че­ских кап­сул, рас­по­ло­жен­ных в одной плос­ко­сти (рис. 1), на­хо­дят­ся в вер­ши­нах пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Чтобы их ра­ди­у­сы были мак­си­маль­но воз­мож­ны­ми они долж­ны ка­сать­ся кор­пу­са зонда. Обо­зна­чим их ра­ди­ус R, тогда AB  =  2R. Центр сферы кор­пу­са зонда на­хо­дит­ся в точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этого тре­уголь­ни­ка в точке O:

CH=AB умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =2R умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R,

от­ку­да

OH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CH= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

AO=2CH= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Тогда ра­ди­ус кор­пу­са зонда:

DO=AD плюс AO=R плюс дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Рис. 1

Рис. 2

Рас­смот­рим плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­ную плос­ко­сти ABC, про­хо­дя­щую точку O (рис. 2). Тогда мак­си­маль­но воз­мож­ный ра­ди­ус сферы, ко­то­рую можно раз­ме­стить в кор­пу­се зонда над тремя оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са, равен EF=EG=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Из тре­уголь­ни­ка AOE:

AE в квад­ра­те =AO в квад­ра­те плюс OE в квад­ра­те рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс R пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка R, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 108 плюс 36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R плюс 9R в квад­ра­те =12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R в квад­ра­те плюс 3 левая круг­лая скоб­ка 7 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на R в квад­ра­те минус 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на R плюс 108 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R в квад­ра­те плюс 3 левая круг­лая скоб­ка 7 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на R в квад­ра­те минус 9R в квад­ра­те =36 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та R плюс 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на R рав­но­силь­но R= дробь: чис­ли­тель: 72 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 12 левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =6 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ: 6 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­нияБаллы
За­да­ча ре­ше­на пра­виль­но, ход ре­ше­ния пра­виль­ный и обос­но­ван­ный30 бал­лов
За­да­ча ре­ше­на в целом пра­виль­но и по­лу­чен вер­ный ответ, но есть мел­кие за­ме­ча­ния к ре­ше­нию (в ре­ше­нии до­пус­ка­ют­ся не­зна­чи­тель­ные не­точ­но­сти; име­ют­ся не­до­стат­ки, ко­то­рые легко устра­ня­ют­ся; не рас­смот­ре­ны не­ко­то­рые про­стые част­ные слу­чаи).20—28 бал­лов
За­да­ча ре­ше­на «на­по­ло­ви­ну», т. е. ход ре­ше­ния пра­виль­ный, есть зна­чи­тель­ный про­гресс в ре­ше­нии, но пол­ное ре­ше­ние тре­бу­ет до­пол­ни­тель­ных су­ще­ствен­ных идей.14—18 бал­лов
Вы­бран­ный ход ре­ше­ния за­да­чи яв­ля­ет­ся в прин­ци­пе пра­виль­ным, но при этом не ре­а­ли­зо­ван в силу се­рьез­ных оши­бок; до­ка­за­ны вспо­мо­га­тель­ные утвер­жде­ния, по­мо­га­ю­щие в ре­ше­нии за­да­чи.8—12 бал­лов
За­да­ча не ре­ше­на, но рас­смот­ре­ны от­дель­ные важ­ные слу­чаи при от­сут­ствии ре­ше­ния (или при оши­боч­ном ре­ше­нии).2—4 балла
Ре­ше­ние за­да­чи не­пра­виль­ное и не со­дер­жит идей, с по­мо­щью ко­то­рых за­да­ча может быть ре­ше­на, или за­да­ча не ре­ша­лась.0 бал­лов

Аналоги к заданию № 11107: 11113 Все

Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024