Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Продолжение биссектрисы BL треугольника ABC пересекает его описанную окружность в точке K. Биссектриса внешнего угла B пересекает продолжение отрезка CA за точку A в точке N. Докажите, что если BK = BN, то отрезок LN равен диаметру описанной окружности треугольника.
(А. Кузнецов)
Решение.
Обозначим 
Тогда
Заметим, что 
как угол между внешней и внутренней биссектрисами треугольника. Тогда 
следовательно,
Из треугольника LBN мы видим, что правая часть этого равенства равна NL, а левая часть по теореме синусов для треугольника BCK равна удвоенному радиусу окружности, что и требовалось доказать.