Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD — правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD.
а) Докажите, что ABT — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что 
и 
Найдите отношение площади треугольника ABT к площади четырёхугольника ABCD.
а) Несложно показать, что ABCD — равнобедренная трапеция, поэтому вокруг неё можно описать окружность (назовём её 
Диагонали четырёхугольника CODT точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом
Поскольку 
в четырёхугольнике 
сумма противоположных углов равна 
и вокруг него также можно описать окружность. Следовательно, все 5 точек 
лежат на окружности 
Углы 
и 
вписаны в 
и опираются на одну дугу, поэтому они равны, и 
Далее отметим, что
(вписанные, опираются на одну дугу),
(за счёт того, что 
(трапеция равнобокая).
Отсюда следует, что
Итак, доказано, что в треугольнике 
два угла равны 
поэтому он равносторонний.
б) По теореме косинусов из треугольника находим, что
Тогда площадь 
треугольника равна
Площадь трапеции 
находим по формуле полупроизведение диагоналей, умноженное на синус угла между ними:
ч.
Ответ: 