PDF-версии: 
i
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, и при этом треугольники BOC и AOD — правильные. Точка T симметрична точке O относительно середины стороны CD.
а) Докажите, что ABT — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что 
и 
Найдите отношение площади треугольника ABT к площади четырёхугольника ABCD.
Диагонали четырёхугольника CODT точкой пересечения делятся пополам, поэтому он параллелограмм, и при этом 
в четырёхугольнике 
сумма противоположных углов равна 
и вокруг него также можно описать окружность. Следовательно, все 5 точек 
лежат на окружности 
Углы 
и 
вписаны в 
и опираются на одну дугу, поэтому они равны, и 
Далее отметим, что
(вписанные, опираются на одну дугу),
(за счёт того, что 
(трапеция равнобокая).
два угла равны 
поэтому он равносторонний.
треугольника 
находим по формуле полупроизведение диагоналей, умноженное на синус угла между ними: 
ч.