Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треугольников APK и CPK равны соответственно 6 и 4.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите AC.
Так как прямые TC и TA — касательные к 
они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и 
Отсюда следует, что точки A и C лежат на окружности с диаметром OT (назовём эту окружность 
На этой же окружности лежит точка P, поскольку она лежит на окружности, проходящей через точки 
Тогда по свойству угла между хордой и касательной получаем, что 
Далее, 
(углы, вписанные в окружность Из того, что 
следует, что 
Так как у треугольников APK и CPK общая высота, проведённая из вершины P, их площади относятся как основания, т. е.
Треугольники ABC и KPC подобны, поскольку 
и коэффициент подобия k равен
Но тогда
б) Поскольку 
острый, то 
(центральный угол вдвое больше вписанного), 
(вписанные в 
углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, PK — биссектриса треугольника ACP. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому 
Пусть 
тогда 
Из дополнительного условия 
Следовательно,
Площадь треугольника 
равна
откуда получаем 
или 
По теореме косинусов из треугольника 
находим, что
откуда окончательно получаем 
Ответ: 
