PDF-версии: 
i
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω с центром O. Окружность, проходящая через точки A, O и C, пересекает отрезок BC в точке P. Касательные к ω, проведённые через точки A и C, пересекаются в точке T. Отрезок TP пересекает сторону AC в точке K. Известно, что площади треугольников APK и CPK равны соответственно 6 и 4.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Пусть дополнительно известно, что 
Найдите AC.
они перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, и 
Отсюда следует, что точки A и C лежат на окружности с диаметром OT (назовём эту окружность 
На этой же окружности лежит точка P, поскольку она лежит на окружности, проходящей через точки 
Тогда по свойству угла между хордой и касательной получаем, что 
Далее, 
(углы, вписанные в окружность 
следует, что 
и коэффициент подобия k равен 
острый, то 
(центральный угол вдвое больше вписанного), 
(вписанные в 
углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, PK — биссектриса треугольника ACP. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пропорционально двум другим сторонам, поэтому 
Пусть 
тогда 
Следовательно,
равна 
или 
По теореме косинусов из треугольника 
находим, что 
