РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6893 Добавить в вариант

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC поставлены две точки P и Q соответственно, причем угол AOC в два раза больше угла POQ, где точка O  — центр описанной окружности. Возможно ли, чтобы периметр треугольника PBQ оказался меньше длины стороны AC? Ответ объясните.

Спрятать решение

Решение.

Построим точки К и L так, что $OK=OM,$ $OL=ON$ и $\angle P O B=\angle K O A,$ $\angle Q O B=\angle C O L.$

Треугольник KOA равен треугольнику POB, а треугольник COL равен треугольнику BOQ по двум сторонам и углу между ними. Так как

$\angle K O L=\angle A O C минус левая круглая скобка \angle K O A плюс \angle L O C правая круглая скобка =\angle A O C минус \angle P O Q$

и угол $\mathrmAOC$ в два раза больше угла $\mathrmPOQ$ (по условию), то $\angle K O L=\angle P O Q,$ добавим сюда $\mathrmOK=\mathrmOM$ и $\mathrmOL=\mathrmON,$ получим, что треугольник KOL равен треугольнику POQ . Следовательно, $K L=P Q .$

Тогда периметр треугольника PBQ равен:

$P_P B Q=B Q плюс P Q плюс B Q=A K плюс K L плюс L C больше или равно A C .$

Ответ: невозможно.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные, Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь