РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 6881 Добавить в вариант

Пусть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени n плюс 5x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 3,$ $n больше 1,$ n  — целое число. Возможно ли представить f(x) в виде произведения многочленов положительной степени с целыми коэффициентами? Ответ объясните.

Спрятать решение

Решение.

Допустим, что это возможно, то есть $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ можно представить в виде произведения многочленов положительной степени с целыми коэффициентами:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 5 x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 3= левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс a_k минус 1 x в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс a_0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка плюс b_m минус 1 x в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс b_0 правая круглая скобка .$ $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 5 x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 3=$
$= левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка плюс a_k минус 1 x в степени левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс a_0 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка m правая круглая скобка плюс b_m минус 1 x в степени левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс b_0 правая круглая скобка .$

где все коэффициенты целые числа, а $k плюс m=n.$

Так как $a_0 b_0=3,$ то один из сомножителей по абсолютной величине равен 3, а другой 1. Пусть для определенности $\left|a_0|=3,$ и $\left|b_0|=1 .$

Заметим, что рациональные корни многочлена $x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс 5 x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс 3$ являются целыми числами и делителями числа 3. Поэтому легко проверить, что этот многочлен не имеет рациональных корней и $1 меньше k меньше n минус 1$ Сравнивая коэффициенты, имеем

$система выражений a_0 b_0=3,a_1 b_0 плюс a_0 b_1=0, a_2 b_0 плюс a_1 b_1 плюс a_0 b_2=0, a_k минус 1 b_0 плюс a_k минус 2 b_1 плюс умножить на s=0, b_0 плюс a_k минус 1 b_1 плюс a_k минус 2 b_2 плюс умножить на s=0. конец системы .$

Из первых k равенств следует, что все числа $a_0, a_1, \ldots, a_k минус 1$ делятся на 3. Тогда из последнего равенства следует, что $b_0$ тоже делится на 3, но $\left|b_0|=1,$ следовательно, пришли к противоречию.

Ответ: невозможно.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2021 год

Классификатор: Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах, Методы алгебры. Разложение на множители

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь