Trapezoid EFHG is inscribed into a circle, so it is isosceles. Dropping its altitude FA from point F to its largest base GH, we get

и

Pythagorean theorem for triangles AFG and AFH yields

and

As chords FT and FG are equal to each other, the corresponding arcs, i. e. FEG and FHT are also equal. Arcs EG and FH are equal to each other as well (the chord EF is parallel to the chord GH); hence, arcs EF and HT are equal, and so Triangles EFG and HTF are equal to each other, and as their sides are known, the areas can be calculated using Heron's formula:

Let Then

Extended law of sines applied to triangle GFH yields

where R is radius of the circle.

Let Then we use law of cosines and extended law of sines for triangle FGT:

Substituting

and simplifying the second equation, we get

So, or The former variant is unacceptable (as it means that and the only possibility is the latter one. It yields

Which means

Now we only need to notice that the area in question is equal to

Rounding it to three decimals, we get 52,944.

Тра­пе­ция EFHG впи­са­на в окруж­ность, по­это­му она рав­но­бо­кая. Опус­кая её вы­со­ту FA из точки F на боль­шее ос­но­ва­ние GH, по­лу­ча­ем

и

Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ков AFG и AFH сле­ду­ет, что

и

По­сколь­ку хорды FT и FG равны между собой, со­от­вет­ству­ю­щие им дуги FEG и FHT также равны. Дуги EG и FH равны между собой (так как хорда EF па­рал­лель­на хорде GH); сле­до­ва­тель­но, дуги EF и HT равны, и по­это­му Тре­уголь­ни­ки EFG и HTF равны между собой, а так как их сто­ро­ны из­вест­ны, их пло­ща­ди могут быть най­де­ны по фор­му­ле Ге­ро­на:

Пусть Тогда

По обобщённой тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка GFH по­лу­ча­ем

где R  — ра­ди­ус окруж­но­сти.

Обо­зна­чим и Далее при­ме­ня­ем тео­ре­му ко­си­ну­сов и обобщённую тео­ре­му си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка FGT:

За­ме­няя на и упро­щая вто­рое урав­не­ние, по­лу­ча­ем

Итак, или Пер­вый слу­чай не­воз­мо­жен (так как вы­хо­дит, что и под­хо­дит толь­ко вто­рой ва­ри­ант. От­сю­да сле­ду­ет, что

А зна­чит,

Остаётся за­ме­тить, что ис­ко­мая пло­щадь равна

Округ­ляя до трёх зна­ков после за­пя­той, по­лу­ча­ем 52,944.

Ответ: 52,944.