РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 5692 Добавить в вариант

Пусть x  — натуральное число. Решите уравнение

$дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: x минус 3, знаменатель: x конец дроби ... плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби =3.$

Спрятать решение

Решение.

Домножим обе части уравнения на x. Получим

$левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс \ldots плюс 1=3 x.$

Левая часть этого уравнения есть сумма членов арифметической прогрессии, у которой $a_1=x минус 1,$ $d= минус 1,$ а $a_n=1.$ Прогрессия насчитывает $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка$ членов. Так как $S_n= дробь: числитель: a_1 плюс a_n, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,$ то уравнение можно переписать в виде

$дробь: числитель: x минус 1 плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =3 x \Rightarrow x в квадрате =7 x \Rightarrow x=7 левая круглая скобка x не равно q 0 правая круглая скобка .$

Ответ: {7}.

Многопрофильная олимпиада УрФУ для школьников Изумруд, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра. Действия с числами, Алгебра. Прогрессии

Спрятать решение · Помощь