РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1525 Добавить в вариант

Числа a и b таковы, что многочлен $x в степени 4 плюс x в кубе плюс 2x в квадрате плюс ax плюс b$ является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.

Спрятать решение

Решение.

Пусть

$левая круглая скобка x в квадрате плюс A x плюс B правая круглая скобка в квадрате =x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в кубе плюс 2 x в квадрате плюс a x плюс b.$

Раскрывая скобки, получаем

$x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 A x в кубе плюс левая круглая скобка A в квадрате плюс 2 B правая круглая скобка x в квадрате плюс 2 A B x плюс B в квадрате =x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс x в кубе плюс 2 x в квадрате плюс a x плюс b,$

поэтому, приравнивая коэффициенты при степенях, находим $2 A=1,$ $A в квадрате плюс 2 B=2,$ $2 A B=a,$ $B в квадрате =b .$ Отсюда

$A= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $B=1 минус дробь: числитель: A в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 7, знаменатель: 8 конец дроби ,$ $b=B в квадрате = дробь: числитель: 49, знаменатель: 64 конец дроби \approx 0,77 .$

Ответ: $дробь: числитель: 49, знаменатель: 64 конец дроби \approx 0,77.$

Аналоги к заданию № 1525: 1555 Все

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Помощь