Отрезок AB = 1 лежит на прямой l и пересекается с отрезком CD = m в точке O, причём CO : OD = k, ∠AOC = 60° и AC ≠ BD. Для каких пар чисел m и k отрезок AB можно передвинуть по прямой l так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство AC = BD?
Рассмотрим 3 случая.
1. Если 
то отрезок AB достаточно расположить так, чтобы точка O стала его серединой, а значит, четырёхугольник ACBD — параллелограммом.
2. Если 
и 
случай 
рассматривается аналогично, то проекция 
отрезка 
на прямую l имеет длину
Передвинем отрезок AB по прямой l так, чтобы точки A, B, 
на ней располагались в указанном порядке, и обозначим 
Тогда имеем
откуда получаем, что величина
при неограниченном увеличении параметра x, а с ним и 
в некотором положении отрезка AB обязательно станет отрицательной. Аналогично, если те же точки на прямой l расположены в порядке 
A, B, то та же величина при неограниченном увеличении параметра x в некотором другом положении отрезка AB обязательно станет положительной. Поэтому в некотором промежуточном, между двумя указанными, положении отрезка AB рассматриваемая величина обязательно обнулится.
3. Если и 
то в обозначениях предыдущего пункта имеем
Ответ: если 
то k — любое положительное число; если то 