Линейную функцию 
с 
назовём парадоксальной для квадратного трёхчлена f, если из двух трёхчленов 
и 
один имеет хотя бы один вещественный корень, а другой не имеет. На доске написаны сто квадратных трёхчленов. Оказалось, что любые два квадратных трёхчлена имеют общую парадоксальную функцию. Докажите, что у всей сотни трёхчленов есть общая парадоксальная функция.
Пусть —
Заметим, что 
и либо оба имеют корни, либо оба не имеют. Обозначим за D дискриминант f. Рассмотрим несколько случаев.
Если 
и 
то имеет корни, а тогда их не имеет. Следовательно, p и q должны быть одного знака (если 
то график трёхчлена 
необходимо поднять вверх, чтобы он перестал иметь корни, а если 
то наоборот, опустить).
Если и 
то не имеет корней, а тогда их имеет. Следовательно, p и q должны быть разных знаков (если то график трёхчлена необходимо опустить вниз, чтобы он стал иметь корни, а если то наоборот, поднять).
Если 
и то p и q разных знаков. Доказывается аналогично.
Наконец, если и то p и q одного знака. В каждом из этих случаев мы можем заменить числа p и q на 1 и 
(результат не изменится при делении функции на ненулевую константу p). Также мы можем увеличить q, если 
и уменьшить его, если 
и функция останется парадоксальной.
Поскольку любые два из написанных трёхчленов имеют общую парадоксальную функцию, то произведение старшего коэффициента на дискриминант либо неотрицательно у всех трёхчленов, либо неположительно у всех трёхчленов. Рассмотрим первый случай (второй разбирается аналогично). Возьмём P = 1, а в качестве Q — максимум из значений для попарных парадоксальных функций. Функция 
подойдёт.