сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Про по­ло­жи­тель­ные числа a, b, c из­вест­но, что a плюс b плюс c=1, и каж­дое из них не пре­вос­хо­дит  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . До­ка­жи­те, что

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та плюс 2 левая круг­лая скоб­ка b ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та плюс c ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та плюс a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство к виду

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

За­ме­тим, что числа  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка по усло­вию по­ло­жи­тель­ны и в сумме дают еди­ни­цу. При­ме­ним не­ра­вен­ство Йен­се­на для функ­ции  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , пе­ре­мен­ных a, b, c и ко­эф­фи­ци­ен­тов  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка . В силу того, что функ­ция  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та во­гну­та на луче  левая круг­лая скоб­ка 0, плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­ча­ем не­ра­вен­ство

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс c левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та .

Оста­лось за­ме­тить, что

a левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс c левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка =a левая круг­лая скоб­ка a плюс c минус b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b левая круг­лая скоб­ка a плюс b минус c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс c левая круг­лая скоб­ка b плюс c минус a пра­вая круг­лая скоб­ка =
=a в квад­ра­те плюс a c минус a b плюс b в квад­ра­те плюс a b минус b c плюс c в квад­ра­те плюс b c минус a c=a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рийБалл
При­ве­де­но вер­ное обос­но­ван­ное до­ка­за­тель­ство5 бал­лов
Не­ра­вен­ство пре­об­ра­зо­ва­но к виду

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 c пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: c конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та

или по­хо­же­му, к ко­то­ро­му можно при­ме­нить не­ра­вен­ство Йен­се­на

1 балл

 

За от­сут­ствие до­ка­за­тель­ства во­гну­то­сти функ­ции  ко­рень из x баллы не сни­жа­ют­ся.