РЕШУ ОЛИМП — математика

Задания

Тип 21 № 11210 Добавить в вариант

Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open, 11, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2024 год

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами

Про положительные числа a, b, c известно, что $a плюс b плюс c=1,$ и каждое из них не превосходит $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Докажите, что

$корень из: начало аргумента: a конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: c конец аргумента меньше или равно корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате конец аргумента плюс 2 левая круглая скобка b корень из: начало аргумента: a конец аргумента плюс c корень из: начало аргумента: b конец аргумента плюс a корень из: начало аргумента: c конец аргумента правая круглая скобка .$

Решение. Преобразуем неравенство к виду

$корень из: начало аргумента: a конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: c конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате конец аргумента .$

Заметим, что числа $левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка$ по условию положительны и в сумме дают единицу. Применим неравенство Йенсена для функции $корень из: начало аргумента: x конец аргумента ,$ переменных a, b, c и коэффициентов $левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка .$ В силу того, что функция $корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ вогнута на луче $левая круглая скобка 0, плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ получаем неравенство

$корень из: начало аргумента: a конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: c конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: a левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка плюс c левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка конец аргумента .$

Осталось заметить, что

$a левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка плюс c левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка =a левая круглая скобка a плюс c минус b правая круглая скобка плюс b левая круглая скобка a плюс b минус c правая круглая скобка плюс c левая круглая скобка b плюс c минус a правая круглая скобка =$
$=a в квадрате плюс a c минус a b плюс b в квадрате плюс a b минус b c плюс c в квадрате плюс b c минус a c=a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате .$

Критерии проверки:

Критерий	Балл
Приведено верное обоснованное доказательство	5 баллов
Неравенство преобразовано к виду $корень из: начало аргумента: a конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 b правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: b конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 c правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: c конец аргумента левая круглая скобка 1 минус 2 a правая круглая скобка меньше или равно корень из: начало аргумента: a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате конец аргумента$ или похожему, к которому можно применить неравенство Йенсена	1 балл

Критерий

Балл

Приведено верное обоснованное доказательство

5 баллов

Неравенство преобразовано к виду

или похожему, к которому можно применить неравенство Йенсена

1 балл

За отсутствие доказательства вогнутости функции $корень из x$ баллы не снижаются.

Олимпиада: Олимпиада Университета Иннополис Innopolis Open

Класс: 11, 10

Тур: 2 тур (заключительный)

Классификатор: Алгебра. Неравенства с буквами

Год: 2024

Ключ