РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 101 Добавить в вариант

Выпуклый многогранник имеет 8 вершин и 6 четырёхугольных граней. Может ли проекция этого многогранника на некоторую плоскость оказаться правильным 8-⁠угольником?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим различные параллельные плоскости Σ₁, Σ₂, Σ₃. На плоскости Σ₁ возьмём правильный восьмиугольник A₁ ... A₈. Выберем на плоскости Σ₂ точки B₁, B₂, B₅, B₆ такие, что проекция точки B_i на плоскость Σ₁ совпадает с точкой A_i. Выберем на плоскости Σ₃ точки C₃, C₄, C₇, C₈ такие, что проекция точки C_i на плоскость Σ₁ совпадает с точкой A_i. Тогда многогранник с вершинами в точках B₁, B₂, C₃, C₄, B₅, B₆, C₇, C₈  — искомый.

Четвёрка точек B₂, C₃, C₄, B₅ лежит в одной плоскости, так как прямая C₃C₄ параллельна прямой B₂B₅. Для остальных четвёрок точек, соответствующих граням, проверяется аналогично.

Ответ: да.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	20
Не доказано, как обеспечить, чтобы четвёрки, относящиеся к одной грани, лежали в одной плоскости.	12
Приведён комбинаторный тип построения, не учитывающий, что восьмиугольник правильный (или просто иллюстрация), компланарность четвёрок точек не обоснована.	8
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	20

Всероссийская олимпиада школьников Высшая проба, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Геометрия: стереометрия. Многогранники, Геометрия: стереометрия. Прямые и плоскости

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь