РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1522 Добавить в вариант

Олимпиада школьников Ломоносов, 10, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Прогрессии, Методы алгебры. Преобразования выражений

Пять чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Сумма их кубов равна нулю, а сумма их квадратов  — 70. Найдите наименьшее из этих чисел.

Решение.

Представим члены прогрессии как $a минус 2 d,$ $a минус d,$ a, $a плюс d,$ $a плюс 2 d.$ Тогда сумма квадратов равна

$левая круглая скобка a минус 2 d правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка в квадрате плюс a в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка a плюс 2 d правая круглая скобка в квадрате =5 a в квадрате плюс 10 d в квадрате =70,$

а сумма кубов равна

$левая круглая скобка a минус 2 d правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка в кубе плюс a в кубе плюс левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2 d правая круглая скобка в кубе =5 a в кубе плюс 30 a d в квадрате =a левая круглая скобка 5 a в квадрате плюс 30 d в квадрате правая круглая скобка =0 .$ $левая круглая скобка a минус 2 d правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка в кубе плюс a в кубе плюс левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в кубе плюс левая круглая скобка a плюс 2 d правая круглая скобка в кубе =$
$=5 a в кубе плюс 30 a d в квадрате =a левая круглая скобка 5 a в квадрате плюс 30 d в квадрате правая круглая скобка =0 .$

Отсюда $a=0,$ $d= корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента ,$ и наименьший член последовательности $a минус 2 d= минус 2 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$