На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках 
и 
Найдите количество пар точек 
и 
с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что 
Запишем исходное условие на координаты точек и в виде 
Так как координаты точек и являются целыми числами, то левая и правая части этого равенства могут принимать только целочисленные значения k. Пара точек 
с целочисленными координатами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых 
и 
соответственно. Далее найдём подходящие значения параметра k. Стороны OP и QR параллелограмма лежат на прямых 
и 
поэтому они параллельны прямым 
и 
Эти прямые пересекают параллелограмм при 
и 
поэтому 
Выясним количество точек с целочисленными координатами на каждой из прямых вида 
Если b кратно пяти (т. е. 
), то получаем прямую 
При любом целом x получится целое значение y, а чтобы точка оказалась внутри параллелограмма нужно, чтобы 
При любом l этому неравенству удовлетворяет 17 целых значений x. Если b не делится на 5 , то есть при 
где 
имеем
Учитывая, что 
получаем 
— всего 16 целочисленных значений. Если 
(таких значений 10), то на каждой из двух прямых и можно выбрать по 17 точек — всего 
способов. Если 
(таких значений 36), то на каждой из двух прямых 
и 
можно выбрать по 16 точек — имеем 
способов. Итого получаем 
способов.
Ответ: 12106.
и 