РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 7936 Добавить в вариант

Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC, точка O  — центр его описанной окружности. Продолжение высоты BH треугольника ABC пересекает его описанную окружность в точке N. На сторонах AB и BC отмечены точки X и Y соответственно такие, что $O X \| A N$ и $O Y \| C N.$ Описанная окружность треугольника XBY пересекает отрезок BH в точке Z. Докажите, что $X Y \| O Z.$

Спрятать решение

Решение.

Так как $O X \| A N$ и $O Y \| C N,$ имеем $\angle X O Y=\angle A N C.$ Таким образом,

$180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =\angle A B C плюс \angle A N C=\angle X B Y плюс \angle X O Y,$

то есть пять точек O, X, B, Y, Z лежат на одной окружности. С одной стороны,

$\angle Y O Z=\angle Y B Z=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A C B$

С другой стороны,

$\angle X Y O=\angle X B O= дробь: числитель: 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A O B, знаменатель: 2 конец дроби =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A C B=\angle Y O Z$

откуда и следует, что $X Y \| O Z.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Любое полное решение задачи.
7	В верном решении не доказано, что ∠ABO=∠HBC.
3	Доказано, что пять точек O, X, B, Y, Z лежат на одной окружности.
1	Сформулировано, что ∠ABO=∠HBC.

Олимпиада Курчатов, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2022 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Окружности описанные

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь